母比率の区間推定 - ねぎとろ放浪記

何となく使えるようにする統計シリーズ第三弾
数学的にあいまいな表現が多々あります。

以下のような問題を考える。

ある大都市のうち、金魚を飼っている世帯数を調査する。
無作為に選び出した1500世帯のうち、300世帯が金魚を飼っていた。
このとき、この都市で金魚を飼っている世帯の95%信頼区間を求めよ。

母集団は十分大きいので、金魚を飼っている世帯数ｘは二項分布に従うと考えてよい。
よって世帯数ｘの期待と分散は

${E[x] = np}$

${V[x] = np(1-p)}$

となる。
ここで標本比率 $\hat{p} = \frac{x}{n}$ を用いると、その期待値は

${\begin{eqnarray} E[\hat{p}] &=& E[\frac{x}{n}] \\ &=& \frac{E[x]}{n} \\ &=& p \end{eqnarray}}$

分散は

${\begin{eqnarray} V[\hat{p}] &=& V[\frac{x}{n}] \\ &=& \frac{V[x]}{n^2} \\ &=& \frac{p(1-p)}{n} \end{eqnarray}}$

と表せる。
ここでnが大きいとき、二項分布に関する中心極限定理より、次のｚが近似的に標準正規分布に従う。

${ z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} }$

よって標準正規分布の上側 $100\alpha/2$ %点を $z_{\alpha/2}$ とすると信頼区間は

${\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

となる。
これは二次不等式で解くのが面倒。
nが十分大きいので、最左辺と最右辺の $p$ を $\hat{p}$ で置き換えて、

${\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}$

が信頼区間となる。

この問題では

${\hat{p} = \frac{300}{1500} = 0.2}$

${1.96\times\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 1.96\times\sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{1500}} \fallingdotseq 0.02 }$

よって、求める信頼区間は

${0.18 \leq p \leq 0.22}$

となる。