ねぎとろ放浪記

個人的備忘録です。勉強したことをまとめていきます。

正規分布の母平均の推定

統計検定

(筆者は大学数学をまともに履修していません。あいまいな表現にご注意下さい。)

母平均 $\mu$ の信頼区間を推定する方法を考える。
以下では標本 $x_1, x_2,x_3...x_n$ は独立に平均 $\mu$ 、分散 $\sigma ^2$ の正規分布に従うとする。

1.分散が既知のとき

このとき標本平均 $\bar{x}$ は $N( \mu, \frac{\sigma ^2}{n})$ の正規分布に従う。
よって信頼度 $\alpha$ の信頼区間は

$\bar{x} - k \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

と表せる。
ただし $k$ は標準正規分布の両側 $100(1-\alpha)$ 点である。
95%だったら1.96とかのあれのことね。

2.分散は未知だがｎが十分大きいとき

このとき不偏分散 $\hat{\sigma}^2$ は $\sigma ^2$ を用いて以下のように表せる。

$\begin{eqnarray} \hat{\sigma}^2 &=& \frac{n}{n-1}\sigma^2 \\ &=& \frac{1}{1-\frac{1}{n}}\sigma^2 \end{eqnarray}$

ここでｎが十分大きければ $\hat{\sigma}^2$ は $\sigma ^2$ と一致する。
よって上記1の $\sigma$ に $\hat{\sigma}$ を代入することで同様に計算できる。

3.分散が未知でｎが小さいとき

自由度n-1のt分布を用いる。
信頼度 $\alpha$ の信頼区間は

$\bar{x} - k \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + k \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}$

と表せる。
ただし $k$ は自由度n―1のt分布の両側 $100(1-\alpha)$ 点である。

こんな感じで3パターン(2は1と同じなので実質2パターン)に分類できる。
でも統計検定2級の過去問で分散既知のときでもt分布使ってるのがあったりするのでよくわからん。